A kinetic eikonal equation

We analyse the linear kinetic transport equation with a BGK relaxation operator. We study the large scale hyperbolic limit (t, x) → (t/ε, x/ε). We derive a new type of limiting Hamilton-Jacobi equation, which is analogous to the classical eikonal equation derived from the heat equation with small diffusivity. We prove well-posedness of the phase problem and convergence towards the viscosity solution of the Hamilton-Jacobi equation. This is a preliminary work before analysing the propagation of reaction fronts in kinetic equations. Résumé Une équation eikonale cinétique. Nous analysons une équation cinétique linéaire de transport avec un opérateur de relaxation BGK. Nous étudions la limite hyperbolique de grande échelle (t, x) → (t/ε, x/ε). Nous obtenons à la limite une nouvelle équation de Hamilton-Jacobi, qui est l’analogue de l’équation eikonale classique obtenue à partir de l’équation de la chaleur avec petite diffusion. Nous démontrons le caractère bien posé de l’équation vérifiée par la phase, ainsi que la convergence vers une solution de viscosité de l’équation de Hamilton-Jacobi. Ceci est un travail préliminaire en vue d’analyser la propagation de fronts de réaction pour des équations cinétiques. Version française abrégée Nous considérons un modèle cinétique linéaire avec un opérateur de relaxation BGK, posé sur un ensemble de vitesses V symétrique et borné. On analyse le comportement de l’équation dans la limite hyperbolique de grande échelle (t, x) → ( t ε , x ε ) , ∂tf ε + v · ∇xf ε = 1 ε (M(v)ρ − f ) , (t, x, v) ∈ R+ × R × V . (1) Nous démontrons que la phase φ définie par la relation f (t, x, v) = M(v)e φε(t,x,v) ε converge (localement) uniformément, lorsque ε → 0, vers une fonction φ(t, x) indépendante de v. De surcrôıt, la fonction φ est solution de viscosité de l’équation de Hamilton-Jacobi suivante,